domingo, 1 de maio de 2011

Movimento uniformemente variado

Conceito- É o movimento em que a velocidade escalar varia no decorrer do tempo. Em consequência a aceleração é constante e a aceleração escalar instantânea é igual a escalar média. Ou seja, am = a = variação va velocidade sobre a variação do tempo.
Gráfico da velocidade, por ser uma função do 1º grau, é uma reta de inclinação não nula.
Função horária do MUV: s = so + vot +at²/2.
Gráfico da função horária, sendo do 2º grau, é uma parábola. Aceleração positiva, concavidade para cima; aceleração negativa, concavidade para baixo.
Gráfico da aceleração, é constante e não nula.
Equação de Torricelli no MUV: É quando a velocidade se relaciona com o tempo: v² = vo² + 2a(s-so).
Velocidade média no MUV: é a média aritmética  entre as velocidades escalares nos instantes.  q 

Queda Livre

Quando um corpo se movimenta sujeito apenas à aceleração gravitacional, desprezando qualquer tipo de resistência, dizemos que este corpo está em queda livre. Logo, queda livre é um movimento que só existe no vácuo, pois, só assim, não temos a resistência do ar.

Ao soltarmos uma folha de caderno dobrada ao meio e um caderno da mesma altura, observamos que o caderno, por ser mais pesado, chega primeiro ao solo. Sabemos que isso acontece porque a resistência do ar exerce uma ação sobre os corpos e, sendo o caderno o corpo com maior massa, este chega primeiro ao solo.

Esta é mais uma bela ilustração do grande Tainan Rocha.

Mas, você já tentou colocar a folha de caderno dobrada ao meio em cima do caderno e soltou o conjunto simulando uma queda livre? Se você ainda não tentou, tente agora mesmo!

Para a surpresa de muitos os dois caem ao mesmo tempo. Isso acontece porque colocando a folha em cima do caderno, estamos retirando praticamente toda a resistência do ar que antes atrapalhava o movimento da folha. E, assim, os dois corpos estão sujeitos a mesma aceleração.

Todos os corpos, abandonados ou lançados para cima, são atraídos pela Terra por uma aceleração chamada aceleração da gravidade ou aceleração gravitacional (g). Para a aceleração gravitacional, utilizamos g = 9,8 m/s2 que pode ser aproximado para g = 10 m/s2.

Considerando g constante, temos o movimento de queda livre um exemplo de movimento uniformemente variado. Para resolver os exercícios de queda livre podemos utilizar as seguintes equações:

S = S0 + V0.t + a. t2 / 2 (equação horária dos espaços)
V = V0 + a. t (equação horária da velocidade)
V2 = V02 + 2.a.∆S (equação de Torricelli)

Vamos estudar um exemplo de queda livre:

Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima com velocidade inicial de 20m/s. Desprezando-se os atritos com o ar e admitindo-se a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, calcule:

a) o tempo gasto pelo corpo para atingir o ponto mais alto da trajetória.
b) a altura máxima atingida pelo corpo.

Resolução

a) quando o corpo chega ao ponto mais alto da trajetória ele pára. Logo, sua velocidade é igual a zero neste instante. Considerando o sentido da trajetória para cima, temos:

g = 10 m/s2;
V0 = 20 m/s
V = 0

V = V0 + a. t
0 = 20 – 10.t
10.t = 20
t = 20/10
t = 2s (o tempo gasto pelo corpo para atingir o ponto mais alto da trajetória)

b) no instante 2s o corpo atingi sua altura máxima, logo:

S = S0 + V0.t + a. t2 / 2

S = 0 + 20.2 - 10. 22 / 2
S = 40 – 20
S = 20 m (altura máxima)


 

3.4. Lançamento Vertical

   Uma partícula é lançada verticalmente com velocidade inicial v0 a partir de uma altura h relativo ao solo, local onde se escolheu a origem do nosso eixo de referência. O corpo se desloca até uma altura H quando sua velocidade v se anula, inverte-se, portanto, o sentido da velocidade começando um movimento de descida.
   Considere o eixo de referência y para cima como positivo. O corpo foi lançado no mesmo sentido da referência, o que torna v0 positivo e g, o vetor aceleração da gravidade atua no sentido contrário. Da equação horária do movimento retilíneo e uniforme (3.3), podemos escrever a equação de movimento para o lançamento vertical (3.5) como sendo

(3.5)
   Analisando a equação (3.5), temos o sinal negativo, indicando que o vetor g é contrário ao sentido de referência adotado (valor para g positivo) e y0 = h, a altura de lançamento.
   A partir da equação de velocidade do movimento uniformemente variado (3.2), escreve-se a equação de velocidade para o lançamento vertical (3.6) como

(3.6)
   Da combinação das equações (3.5) e (3.6), encontra-se a equação de Torricelli para o lançamento vertical (3.7) como

(3.7)
   Podemos deduzir alguns resultados para o movimento vertical, tais como:
Tempo de subida
No topo da trajetória, para a velocidade v = 0, substituindo este valor na equação (3.6) e fazendo t = ts, temos para o tempo de subida dado pela equação (3.8)

(3.8)
Altura máxima    Para o tempo de subida, o corpo encontra-se na máxima altura possível, ymax. Substituindo y0 por h e t por ts na equação de movimento (3.5)
(3.9)
Velocidade final    Velocidade atingida quando y = 0, na altura do solo, e usando Torricelli (3.7)

e extraindo a raiz quadrada, encontramos para a velocidade final (lembrando que este valor deve ser negativo) dado pela equação (3.10)
(3.10)
Tempo final    Substituindo o valor da velocidade final (3.10) na equação de velocidade (3.6) tem-se

(3.11)
   Na possibilidade de se atirar o corpo verticalmente para baixo, mantendo-se a mesma orientação de referência, tenha o cuidado de usar o valor da velocidade inicial v0 negativo.
   Tratando-se do mesmo problema, mas com mudança no sentido de referência, positivo para baixo, apresenta-se algumas modificações que precisam ser entendidas. O caminho inicial será colocar a origem do eixo de referência no local de lançamento e mais uma vez ter em mente que a velocidade inicial v0 terá valor negativo quando o objeto for lançado para cima, contrário ao sentido positivo escolhido para a referência.
   A seguir serão listadas as diferenças para facilitar o entendimento sempre tomando-se por base os resultados obtidos até o momento. Vejamos:

  • As equações de movimento (3.5), de velocidade (3.6) e Torricelli (3.7) seriam reescritas com o sinal positivo para a parcela referente a aceleração pois a mesma atua no sentido da referência;


  • O tempo de subida ts seria o negativo da expressão (3.8);


  • A altura mínima ymin é calculada através de (3.12)
    (3.12)
    para uma altura máxima, quando o corpo toca o chão, ymax = h



  • A velocidade final vf seria o negativo da expressão (3.10);



  • O tempo final tf é calculado através da expressão (3.13) abaixo
    (3.13)



  •    Para facilitar o cálculo das grandezas envolvidas no lançamento vertical, escolha a origem do eixo de referência no local de lançamento, escreva as equações (3.5), (3.6) e (3.7) com os sinais positivos aparecendo o sinal quando for substituído o valor numérico da aceleração (negativo, quando contrário ao eixo de referência).
       Um caso particular para o lançamento vertical ocorre quando a partícula é liberada do repouso, estando a uma certa altura em relação ao solo, chamamos de Queda Livre.
    Fatos empíricos mostram que um corpo próximo da superfície da terra ou de qualquer astro sofre uma atração, constante vertical e para baixo, chamada aceleração da gravidade local  (g), para simplificar será considerada sempre constante na superfície de um determinado local.
    Próximo a superfície terrestre um corpo é lançado verticalmente para cima, este corpo tem uma Vo e p está sujeito a uma aceleração constante g (valor absoluto da gravidade local).
    Neste trecho do movimento o corpo irá subir verticalmente para cima sujeito a uma aceleração (g) vertical para baixo, assim pode-se considerar que sua aceleração (a): a = -g (sinal negativo representa que são em direções opostas).
    Para o estudo deste movimento é claro que estaremos tratando de um movimento uniformemente variado.

    Assim, iremos estuda-lo pelas equações do MUV.

    Fatos importantes
    No topo da trajetória a sua velocidade é nula (ponto de inversão de movimento)
    Após atingir o topo de sua trajetória este corpo irá sofrer uma queda livre onde a=g. Mostremos que o tempo de subida é igual ao tempo de queda ts (tempo de subida)


    Obs.: Ler sobre salto de paraquedas, onde devido à resistência do ar o paraquedista chega a uma velocidade máxima, a partir deste ponto seu movimento é praticamente uniforme (velocidade terminal).

    Exercícios  sobre queda livre e lançamento vertical
    Exercício 1: (PUC-RIO 2009)
    Uma bola é lançada verticalmente para cima. Podemos dizer que no ponto mais alto de sua trajetória:

    Exercício 2: (PUC-RIO 2009)
    Um objeto é lançado verticalmente para cima de uma base com velocidade v = 30 m/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistência do ar, determine o tempo que o objeto leva para voltar à base da qual foi lançado.

    Exercício 3: (PUC-RIO 2009)
    Um objeto é lançado verticalmente para cima, de uma base, com velocidade v = 30 m/s. Indique a distância total percorrida pelo objeto desde sua saída da base até seu retorno, considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s² e desprezando a resistência do ar.

    Exercício 4: (PUC-RIO 2008)
    Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, e atinge uma altura máxima de 20 m. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s², a velocidade inicial de lançamento e o tempo de subida da bola são:

    Exercício 5: (PUC-RIO 2008)
    Duas esferas de aço, de massas iguais a m = 1,0 kg, estão amarradas uma a outra por uma corda muito curta, leve, inquebrável e inextensível. Uma das esferas é jogada para cima, a partir do solo, com velocidade vertical de 20,0 m/s, enquanto a outra está inicialmente em repouso sobre o solo. Sabendo que, no ponto de máxima altura hmáx da trajetória do centro de massa, as duas esferas estão na mesma altura, qual o valor, em m, da altura hmáx? (Considere g = 10 m/s²)

    Exercício 6: (PUC-RIO 2007)
    Um objeto é solto do repouso de uma altura de H no instante t = 0. Um segundo objeto é arremessado para baixo com uma velocidade vertical de 80 m/s depois de um intervalo de tempo de 4,0 s, após o primeiro objeto. Sabendo que os dois atingem o solo ao mesmo tempo, calcule H (considere a resistência do ar desprezível e g = 10 m/s²).

     

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